anm老师育儿说初三数学抛物线上动点构成
2024-08-14 来源：小胖丁资讯
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利用二次函数求面积的最值是初三数学的重要题型，也是数学中考的常考题型，本文就例题详细解析这类题型的解题思路，希望能给初三学生的数学学习带来帮助。
例题如图，已知二次函数的图像过点O（0,0）、A（8,4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若M是OB上一点，作MN∥AB交OA与N，当△ANM的面积最大时，求点M的坐标。
1、求二次函数的解析式
根据题目中的条件：二次函数的图像过点O（0,0），对称轴是直线x=3，则点B的横坐标=6，即点B的坐标为（6,0）；
设二次函数的解析式为y=ax(x-6)
根据题目中的条件：二次函数的图像过点A（8,4），二次函数的解析式为y=ax(x-6)，则a=1/4；
所以，二次函数的解析式为y=1/4x(x-6)。
2、求点M的坐标
设点M到线段OA的距离为h，点M的坐标为（m,0），过点A作AC⊥x轴于点C
根据三角形的面积公式和题目中的条件：S△ANM=AN*h/2，S△AOM=AO*h/2，则S△ANM/S△AOM=AN/AO；
根据平行线分线段成比例和题目中的条件：MN∥AB，则AN/AO=BM/BO；
根据题目中的条件和结论：M（m,0），B（6,0），A（8,4），则MO=m，BO=6，AC=4，AO=4√5；
根据结论：MO=m，BO=6，则BM=BO-MO=6-m；
根据结论：AN/AO=BM/BO，BM=6-m，BO=6，则AN/AO=(6-m)/6；
根据三角形的面积公式和结论：S△AOM=MO*AC/2，MO=m，AC=4，则S△AOM=2m；
根据结论：S△ANM/S△AOM=AN/AO，S△AOM=2m，AN/AO=(6-m)/6，则S△ANM=2m(6-m)/6=-1/3(m-3)^2+3；
所以，当m=3时，S△ANM取到最大值3。
结语解决本题的关键是根据三角形的面积公式得到面积与线段间的数量关系，根据平行线分线段成比例的性质，得到线段间的数量关系，再用点M的坐标表示出线段的长度，用含m的代数式表示出三角形面积，再根据二次函数求最值的方法就可以轻松求得题目需要的面积最大值。